Conjectura lui Poincaré - l
presupunere inițială Poincaré este un caz special al conjecturii generalizate pentru n = 3.
Schița dovada
flux Ricci - o anumită ecuație diferențială parțială. cum ar fi ecuația căldurii. Acesta vă permite să denatureze metrica Riemanniană pe o varietate, dar în procesul de deformare, formarea de „singularitate“ - punctele la care curbura tinde la infinit, iar deformarea nu poate continua. Pasul principal în dovada este în clasificarea unor astfel de singularități în cazul tridimensional orientate. La apropierea singularitatea opritorul de curgere și de a produce o „chirurgie“ - arunca o componentă mică conectat sau tăiat „gât“ (adică, înglobată), iar cele care rezultă două găuri sunt sigilate cu două bile, astfel încât metrica colectorului obținut devine suficient de neted - apoi se continuă deformarea. Clasificarea singularități poate concluziona că fiecare „bucată de aruncat“ formă spațială sferică diffeomorphic. Procedeul descris mai sus este numit „flux Ricci cu o intervenție chirurgicală.“
În dovada conjecturii Poincaré începe cu o valoare Riemanniană arbitrar pe o varietate tridimensională pur și simplu conectat și aplicați fluxul Ricci, cu o intervenție chirurgicală. Un pas important este de a dovedi că, ca rezultat al acestui proces de „aruncat“ totul. Acest lucru înseamnă că colectorul original poate fi reprezentat ca un set de forme sferice spațiale, în legătură cu fiecare alte receptoare. Calculul grupului fundamental arată că valoarea set diffeomorphically legate de forme spațiale și mai multe sunt banale. Astfel, o sumă legată de un set de sfere, adică sfera.
In 1900, Poincaré a făcut ipoteza că colectorul tridimensională cu toate grupurile de omologie ca sferă este homeomorf sferei. În 1904, el a găsit, de asemenea, un contra-exemplu, este cunoscut acum ca sfera Poincaré. și a formulat versiunea finală a ipotezei sale. Încercările de a demonstra conjectura Poincaré a dus la multe progrese în topologia varietăților.
Dovezi pentru o Poincare generalizată n ⩾ 5 obținute la începutul 1960-1970 Smale aproape simultan, în mod independent, și alte metode Stallings (Eng.) (Pentru n ⩾ 7, dovada a fost extins la cazurile de n = 5 și 6 Zeeman (Engl. )). Dovada este mult mai dificil caz n = 4 a fost obținută numai în 1982 de către Friedman. Din teorema lui Novikov pe invarianța topologice claselor Pontryagin, există colectoare homeomorf echivalent, dar nu omotopie în dimensiuni mari.