Derivata unei funcții implicite

Dacă funcția unei singure variabile descrisă de ecuația \ (y = f \ stânga (x \ dreapta) \), unde variabila \ (y \) este situată în partea stângă și partea dreaptă depinde numai de argumentul \ (x \), atunci spunem că funcţia este dată în mod explicit. De exemplu, următoarele funcții sunt specificate în mod clar: \ [\; \; + 2x + 5> \; \; \] In multe probleme, cu toate acestea, funcția poate fi definită în mod implicit. și anume sub forma ecuației \ [F \ stânga (\ dreapta) = 0. \] Desigur, orice funcție explicită poate fi scrisă într-o formă implicită. Deoarece funcțiile menționate mai sus pot fi reprezentate ca \ [\; \; - 2x - 5 = 0,> \; \; \] Transformarea inversă poate fi realizată nu este întotdeauna. De multe ori există funcții definite implicit printr-o ecuație care nu poate fi rezolvată pentru o variabilă \ (y \). De exemplu, pentru următoarele funcții \ [+ - 3 = 0,> \; \;> + >>> - 4x = 0,> \; \; \ Dreapta) = 0> \] nu se poate obține dependența \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) explicit.

Vestea bună este că nu este nevoie să-l transforme într-o formă explicită pentru \ derivat (y „\ left (x \ dreapta) \) funcția definită în mod implicit. Pentru a face acest lucru, știind ecuația \ (F \ stânga (\ dreapta) = 0, \), trebuie doar să urmați acești pași:

• În primul rând, trebuie să se diferențieze cele două părți ale ecuației \ (x \), presupunând că \ (y \) - este o funcție \ diferențiabilă (x \), și folosind o regulă pentru a calcula derivata unei funcții compozit. Zero derivat (partea dreapta) va fi, de asemenea, egal cu zero.

Notă. În cazul în care partea dreaptă este diferită de zero, adică, Ecuația implicită este de forma \ [f \ left (\ dreapta) = g \ stânga (\ dreapta), \] diferenția partea stângă și partea dreaptă a ecuației.

Pentru a rezolva ecuația rezultată pentru derivatul de \ (y „\ stânga (x \ dreapta) \).

Algoritmul descris pentru găsirea funcției implicite a derivatului utilizat în exemplele de mai jos.

Având în vedere ecuația cercului \ (= + \), cu centrul la origine și raza \ (r \). Găsi derivat \ (y „\ left (x \ dreapta). \)

Ne diferentiem de \ (\ x) pe ambele părți ale ecuației: \ [> \ stânga (+> \ dreapta) = \ frac> \ stânga (> \ dreapta),> \; \; \; \; \; \; \; \; .> \] In acest caz, putem obține o expresie explicită pentru derivatul. De exemplu, pentru semicercul superior dependența \ (y \ stânga (x \ dreapta) \) are o vedere \ clară (y = + \ sqrt -.> \) Prin urmare, descoperim că derivatul este egal cu \ [y „= - \ frac -> >>. \]