Extremele de funcții on-line

O condiție necesară pentru o extremum a unei funcții de o variabilă

ecuația f'0 (x *) = 0 - este o condiție necesară pentru o extremum a funcțiilor unei variabile, adică, punctul x * prima derivată a funcției trebuie să fie zero. Acesta subliniază staționare punctul x s. în care funcția nu este în creștere și nu în scădere.

condiție suficientă pentru o extremum a funcțiilor unei variabile

Să F0 (x) este de două ori diferențiabilă în x. aparținând setului D. În cazul în care punctul x * îndeplinește condiția:

punctul x * este (la nivel global) minim local a unei funcții.

În cazul în care punctul x * îndeplinește condiția:

punctul x * - locale (la nivel global) maxim.

Exemplul №1. Găsiți valorile maxime și minime ale funcțiilor pe intervalul [1; 3].
Decizie.

Un punct critic x1 = 2 (f „(x) = 0). Acest punct aparține intervalului de [1, 3]. (X = 0 punct nu este critică deoarece 0∉ [1, 3]).






Se calculează valorile funcției de la punctele finale și la punctul critic.
f (1) = 9, f (2) = 5/2. f (3) = 3 8/81
Raspuns: fmin = 5/2 când x = 2; fmax = 9, cu x = 1

Exemplul №2. Folosind instrumentele derivate de ordin superior găsi extremum a funcției y = x-2sin (x).
Decizie.
Găsim derivata funcției: y „= 1-2cos (x). Punctele critice: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Ne găsim y '' = 2sin (x), se calculează 0 "alt =" maximă și valorile minime ale funcției. Exemplu „title =“ Maximum și valorile minime ale funcției. Exemplu „>, apoi x = π / 3 + 2πk, k∈Z - punctul minim al funcției, deci x = - π / 3 + 2πk, k∈Z - puncte maxime ale funcției.

Exemplul №3. Exploreaza ftsnktsiyu extremum în vecinătatea x = 0.
Decizie. Este necesar de a găsi extremele funcției. Dacă valoarea extremă x = 0. apoi a determina tipul acestuia (scăzut sau ridicat). Dacă punctele găsite au x = 0 calcula valoarea funcției f (x = 0).
Trebuie remarcat faptul că, atunci când derivatul pe fiecare parte a acestui punct nu schimbă semnul său, nu epuizează situație posibilă, chiar și pentru funcțiile derivabile: se poate întâmpla ca un cartier arbitrar mic, pe de o parte a punctului x0 sau pe ambele părți ale derivatului modificări semnul . La aceste puncte trebuie să utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile în extremă.