Funcția Gradient - studopediya

La fiecare punct de D, care este dat o funcție, definim un vector ale cărui proiecții pe axele sunt valorile derivatelor parțiale ale acestei funcții în punctul corespunzător:

Acest vector se numește gradientul funcției. Se spune că, în zona D definit un câmp vectorial gradienti. Demonstrăm următoarea teoremă stabilește o legătură între gradientul și derivata.

Teorema. Să fie dat un câmp scalar și specificate în acest domeniu este un gradienți de câmp scalare.

Apoi derivatul în direcția unui vector este egal cu proiecția unui vector.

Dovada. Să considerăm versorul corespunzătoare vectorului:

Se calculează produsul scalar al vectorilor:

Expresia de pe partea dreaptă a acestei ecuații este derivata unei funcții în direcția vectorului. În consecință, târgul

Dacă notăm unghiul dintre vectorii și prin intermediul, putem scrie:

Bazat pe teorema de mai sus în mod clar că stabilește o legătură între gradientul și derivatul la un anumit punct în orice direcție.

Stabilim unele proprietăți ale gradientului:

1) Derivatul la un anumit punct de pe vectorul traseu are o valoare maximă atunci când direcția vectorului coincide cu direcția gradientului; aceasta este cea mai mare valoare a derivatului este egal.

2) Derivatul în direcția vectorului perpendicular pe vectorul este zero.

Notă. Dacă funcția este o funcție de două variabile, vectorul

Este perpendicular pe curba de nivel situată într-un plan și care trece prin punctul corespunzător.

Exemplu. Se determină gradientul funcției în punctul.

Decizie. derivate parțiale

punctul va fi egal cu