Gradient - l
Operațiunea convertește gradient de deal (stânga), așa cum este văzută de sus, într-un câmp de vectori (dreapta). Se poate observa că vectorii direcționate „la deal“, și mai mult, mai abruptă pantă.
Gradient (din genul latin Gradienții caz gradientis -... Walking, în creștere) - vector. direcția indică direcția cea mai abruptă creștere anumită valoare, a cărei valoare variază de la un punct în spațiu la altul (câmpul scalar) și în mărime (valoare absolută) este egală cu rata de dezvoltare a acestei valori în această direcție.
De exemplu, dacă luăm ca înălțimea suprafeței Pământului deasupra nivelului mării, gradientul de la fiecare punct al suprafeței va indica „direcția de creștere abruptă“, iar valoarea sa pentru a caracteriza panta abruptă.
Din punct de vedere matematic, gradientul - un derivat al unei funcții scalare definită pe un spațiu vectorial.
Spațiul în care funcția definită și gradientul acesteia poate fi, în general, ca și spațiul tridimensional convențional, iar spațiul oricărei alte dimensiuni de orice natură fizică sau pur abstractă.
Termenul a apărut pentru prima dată în meteorologie și matematică a fost introdus de Maxwell în 1873 a sugerat, de asemenea, că desemnarea grad Maxwell.
- în schimb poate fi orice câmp scalar a indicat nici o literă, de exemplu - desemnarea gradient de câmp V.
definiție
Pentru cazul spațiului tridimensional cu un gradient al unei funcții scalare de coordonate, numită o funcție vector cu componente
, , .
Sau, folosind pentru unitatea de vectori de-a lungul axelor de coordonate carteziene
Dacă - variabilele funcționale, aceasta se numește vectorul gradient de-dimensional
ale cărei componente sunt derivatele parțiale ale tuturor argumentelor sale.
- Dimensiunea vectorului gradientului este astfel determinat, dimensiunea spațiului (sau colectorul), pe care un gradient de câmp scalar pe care întrebare.
- operatorul de gradient (notat în general așa cum sa discutat mai sus, sau) este operatorul, acțiunea a cărei funcție scalară (câmpul) dă gradient. Această afirmație este, uneori, pe scurt denumit simplu „gradientului“.
Sensul gradientul oricărei funcții scalare produsul său scalare cu deplasare vector infinitezimal dă diferențială deplină a acestei funcții cu schimbarea corespunzătoare din spațiul de coordonate, care este definit, adică liniară (în cazul general este principal) modificări parțiale în timpul deplasării pe . Aplicând aceeași literă pentru a desemna o funcție a vectorului și funcția corespunzătoare a coordonatelor sale, puteți scrie:
Trebuie notat aici faptul că deoarece formula diferențială totală nu depinde de tipul de coordonate, adică natura x la toate opțiunile, diferența rezultată este invariant, adică un scalar, în orice transformări de coordonate, precum și - un vector, gradientul calculat în modul obișnuit , este un vector covariantă. adică vector, prezentată în baza duală, și care poate da doar un scalar prin simpla însumare a produselor de coordonate convențional (contravariant), adică un vector, înregistrate într-o bază convențională. Astfel, expresia (în general - pentru coordonate curbilinii arbitrare) pot fi foarte corect și invariant scrise ca:
sau coborârea semn regula lui Einstein a sumei,
(Într-o bază ortonormală putem scrie toți indicii de jos, așa cum am făcut-o de mai sus). Cu toate acestea, gradientul este vectorul covariantă prezent în orice coordonate curbilinii.
De exemplu, gradientul funcției va fi:
În diferite ramuri ale fizicii folosit noțiunea de un gradient de diferite domenii fizice.
De exemplu, gradientul intensității câmpului electrostatic are un potențial electric negativ, câmpul gravitațional (accelerația gravitațională) în teoria clasică a gradientului gravitate este potențial gravitațional negativ. Puterea mecanicii clasice au gradientului negativ al energiei potențiale.
În științele naturale
Conceptul de gradientul este utilizat nu numai în fizică, ci și în conexe, și chiar și la distanță relativ științele fizicii (uneori este utilizarea de natură cantitativă și calitativă, uneori).
De exemplu, gradientul de concentrație - creșterea sau descreșterea în orice concentrație direcție solut, gradient de temperatură - creștere sau descreștere în unele direcții a temperaturii mediului ambiant, etc ...
Gradient astfel de valori pot fi cauzate de diferite cauze, cum ar fi barieră mecanică, acțiunea câmpurilor electromagnetice, gravitaționale sau de altă natură sau diferența în fazele adiacente capacității de dizolvare.
Semnificația geometrică
Luați în considerare familia de linii de nivel ale funcției:
Este ușor de a arăta că gradientul unei funcții într-un punct perpendicular pe linia de nivel care trece prin acest punct. Modulul de gradient prezintă rata maximă de schimbare a funcției în vecinătate, și anume nivelul liniilor de frecvență. De exemplu, înălțimea liniilor de nivel reprezentate pe hărți topografice, modulul gradientului indică ridicarea sau coborârea de pantă abruptă, la un anumit punct.
Comunicarea cu derivata
Folosind regula pentru diferențierea unei funcții compozit. este ușor de a arăta că funcția direcțională derivat egal cu produsul scalar al gradientului pe vectorul unitate:
Astfel, pentru a calcula derivata în raport cu orice funcție gradient de direcție suficientă pentru a ști, adică un vector ale cărui componente sunt derivații săi parțiale.
Gradient în coordonate curbilinii ortogonale
coordonate polare (pe un plan)
.
literatură
1. BA Dubrovin SP Novikov Fomenko geometrie modernă. Manual pentru specialitățile fizice și matematice ale universităților, 1986. p.30
Pentru a îmbunătăți acest articol în matematică este de dorit.
Vezi ce „Gradient“ în alte dicționare:
Gradient -, vectorul g, indicând cea mai abruptă schimbare a unui câmp scalar (Gradienții Lat pacing.). (F) în care punctul P în spațiu notată cu g = grad. (P). Exemple: gradient de temperatură, gradient de presiune, un gradient de potențial ... Large dicționar enciclopedic
GRADIENT - (lat.). Diferența de lecturi barometrice și termometrie în diferite locații. Dicționar de cuvinte străine, care sunt incluse în limba română. Chudinov AN 1910. diferență GRADIENT în citirile barometru și termometrul într-unul și același timp ... ... Dicționar de cuvinte străine în limba română
GRADIENT - [de la Lat. Gradienții (gradientis) pacing], care măsoară schimbările în mărime fizică în spațiul pe unitatea de lungime (distanța) în direcția în care scade mai rapid. Conceptul de gradient este utilizat pe scară largă în meteorologie, ... ... dicționar de mediu
Cantitatea de vector ce caracterizează modificările fizice de viteză - Gradient. câmp în direcția (de ex. gradientul de temperatură, gradientul vertical de gravitație, și t. p.). G. poate fi obținut prin calcul (în cel mai simplu caz, ca diferența în două valori ale câmpului ... ... geologic Enciclopedia
gradientul - 1. Modificarea valorii oricărei variabile, cel mai des utilizate în meteorologie, de exemplu, gradient de temperatură, gradient barometric. 2. Prăvăliș pantei în grade, procente sau ca raport de ... Geografie Dicționar
gradientului - vector dicționar română sinonime. gradient n. Numărul de sinonime: 2 • vector (5) • ... Dicționar de sinonime
gradientul - și m gradient de m .. Lat. Gradienții. Se măsoară creșterea sau descreșterea în spațiul unui litru. Cantitatea fizică atunci când se deplasează pe unitatea de lungime. ALS 2. Lex. Brokg. gradientului; Ush. 1935 grade / nt; TSB 2: Grad / vânt ntny; TSB 3: gradientome / tr ... ... Dicționar istoric al limbii române Gallicisms
Gradient - GRADIENT în meteorologie și geofizică rata de schimbare a unui element într-o direcție perpendiculară pe stratul de suprafață (adică, suprafețele de temperaturi egale presiuni egale, etc ....) (temperatură, presiune, câmp electric.). Gradient ... ... Marii Enciclopedii medical
GRADIENT - soț cu gradient de gradient. (Din latină. Gradienții de sus) (cercetarea.). Schimbarea un fel de valoare la care o unitate de lungime. Ushakov Dicționarul explicativ. DN Ushakov. 1935 1940 ... Ushakov Dictionarul explicativ
- gradient de Web KARAMBIT. Fiecare dintre noi are loc în viața lui printr-o varietate de hobby-uri. jocuri pe calculator este unul dintre acele hobby-uri care nu sunt transmise nici un utilizator de computer și internet activă. Printre ... Read More Cumpără pentru 1150 de ruble
- Gradient. Dzhessi Rassel. Această carte va fi făcută în conformitate cu comanda pe tehnologia de imprimare Tehnologie-on-Demand. Conținutul de calitate înaltă prin articole wikipedia! Grad nt (de la Gradienții latine, decese născut gradientis -? .. ... Citește mai mult Vand pentru 998 de ruble
- gradientul KARAMBIT. Fiecare dintre noi are loc în viața lui printr-o varietate de hobby-uri. jocuri pe calculator este unul dintre acele hobby-uri care nu sunt transmise nici un utilizator de computer și internet activă. Printre ... More Cumpără acum pentru 990 ruble