inegalitate pătratic

Pătratice inegalitate - „complet“. În acest articol, vom lua în considerare soluția inegalităților pătrat se numește subtilitățile. Articole de materiale de studiu sunt sfătuiți să nu lipsește nimic. Supraîncarce articolul pur si simplu nu va funcționa, am recomanda să o fac în mai multe abordări, o mulțime de informații.

Vă recomandăm să repete formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice și să învețe să-l rezolve rapid. Fără aceasta, decizia inegalităților de vorbire pătrat nu poate fi.

Pătratice inegalitate - acest tip de inegalitate:

De fapt, dacă luați ecuația de gradul doi și se înlocuiește cu un semn egal pentru oricare dintre cele de mai sus, veți obține o inegalitate pătratică. Rezolva inegalitatea - înseamnă să răspundă la întrebarea, pentru ce valori a lui x, această inegalitate va fi adevărat. exemple:

inegalitate trinom poate fi specificat în mod implicit, de exemplu:

În acest caz, este necesar să se efectueze transformările algebrice și aduceți-l la formularul standard (1).

* Coeficienții pot fi fracționate și irațional, dar în programa școlară astfel de exemple sunt rare, iar la examenul de sarcini nu apar deloc. Dar nu vă faceți griji, dacă, de exemplu, se va găsi:

Aceasta este, de asemenea, o inegalitate pătratică.

În primul rând, ia în considerare o soluție de algoritm simplu, care nu necesită o înțelegere a ceea ce funcție pătratică și cum arată într-un grafic al coordona planul în raport cu axele de coordonate. Dacă vă amintiți informațiile rapid și lung, cu consolidează în mod regulat practica sa, algoritmul te va ajuta. De asemenea, dacă, așa cum se spune, este necesar să se rezolve această inegalitate „narazok“, algoritmul pentru a vă ajuta. In urma aceasta, puteți implementa cu ușurință o soluție.

Dacă vă aflați în școală, vă recomandăm să înceapă să învețe articolul cu partea a doua, care descrie întregul punct al soluției (a se vedea mai jos pentru un punct - utilizarea unui grafic funcție pătratică). În cazul în care există o înțelegere a faptului, nu este de a preda, nu să memoreze algoritmul nu va avea nevoie de ea, puteți alege cu ușurință rapid orice inegalitate pătratică.

Desigur, ar fi corect să înceapă cu o explicație a funcțiilor exact grafic pătratică și foarte obyasneniya sens, dar a decis să „construiască“ un articol de genul asta.

Un alt punct teoretic! A se vedea formula pentru extinderea trinomul pătrat în factori:

* Pentru a rezolva inegalitatea pătratice trebuie să fie trinom pătrat luate.

Algoritmul de mai jos este numită metoda intervalelor. Este potrivit pentru rezolvarea inegalităților de forma f (x)> 0, f (x)<0. f(x)≥0 иf(x)≤0. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

Algoritmul de decizie. Metoda interval. Exemple.

1. Scrieți ecuația AX2 pătratice + bx + c = 0 și să o rezolve. Obținem x1 și x2 - rădăcinile unei ecuații pătratice.

2. Substituind în (2) și un coeficient de rădăcini. Noi scrie inegalitatea sub forma:

3. Se determină intervalele pe linia numărul (rădăcini împărțit în intervale axe numerice):

4. Se determină „marcajele“ la intervale (+ sau -) prin substituirea valoare arbitrară „x“ a primit fiecare fantă pentru expresia:

5. Putem prescrie doar intervale de interes pentru noi, acestea sunt marcate:

- semnul "+", în cazul în care inegalitatea a stat "> 0" sau "≥0".

- „-“ semn, în cazul în care inegalitatea a fost "<0» или «≤0».

În continuare, notați răspunsul.

NOTĂ. Înșiși la inegalitate semne pot include:

strictă - un ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Cum acest lucru afectează rezultatul deciziei?

Atunci când semne severe de inegalitate limita a intervalului nu este inclusă în decizie, cu intervalul de răspuns în sine este scris în forma (x1, x2) - paranteze rotunde.

Când semnele non-stricte inegalitatea sunt limita de interval în soluție, iar răspunsul poate fi scris ca [x1, x2] - paranteze pătrate.

* Nu este vorba doar inegalitățile pătrat. între paranteze pătrate înseamnă că limita intervalului este inclus în soluție.

Pe exemplele pe care îl va vedea. Să ne uităm la câteva, pentru a elimina toate întrebările pe această temă. În teorie, algoritmul poate parea un pic complicat, este de fapt ușor.

Substituind rădăcinile și un coeficient în formula (2), obținem:

Scrieți inegalitatea în forma (x-50) (x-10) ≤ 0

Rădăcinile ecuației sunt divizate în intervale de axe numerice. Le vom arăta pe o linie număr:

Avem trei intervale (-∞; 10), (10; 50) și (50 + ∞).

Se determină „marcajele“ la intervale de a face acest lucru prin substituirea expresiei (x-50) (x-10) valori arbitrare ale fiecărui primit fantă și uite de potrivire a obținut „semn“ semn în inegalitatea (X-50) (x-10) ≤ 0.

când x = 2 (x-50) (x-10) = 384> 0, incorectă

când x = 20 (x-50) (x-10) = -300 <0 верно

când x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0, incorectă

Decizia va fi intervalul [10, 50].

Pentru toate valorile lui x de la această inegalitate este adevărat interval.

* Vă rugăm să rețineți că avem paranteze furnizate.

Pentru x = 10 și x = 50 inegalitatea va fi, de asemenea, adevărat, adică, limitele sunt incluse în decizie.

- limite de interval includ o soluție a inegalității atunci când semnul este furnizată sau ≤ ≥ (inegalitate strictă). În acest caz, schiță luate rădăcini obținute arată ZASHTRISHOVANNYM cerc.

- Limitele intervalului nu este inclus în inegalitatea de decizie atunci când există un semn în starea <или> (Inegalitate strictă). În acest caz, schița luată de afișare rădăcină cercuri deschise.

Substituind rădăcinile și un coeficient în formula (2), obținem:

Scrieți inegalitatea în forma (x-3) (x + 7)> 0.

Rădăcinile ecuației sunt divizate în intervale de axe numerice. Notă-le pe linia numărul:

* Inegalitatea lax, deci se referă la rădăcinile unshaded. Am primit trei intervale (-∞; -7), (-7; 3) și (3 + ∞).

Se determină „semnele“ în intervalele, face acest lucru prin substituirea expresiei (x 3) (x + 7) valori arbitrare ale acestor intervale și urmăriți inegalitatea corespunzătoare (x 3) (x + 7)> 0.

când x = -10 (-10-3) (-10 +7) = 39> 0 este adevărat

când x = 0 (0-3) (0 +7) = -21 <0 неверно

când x = 10 (10-3) (10 +7) = 119> 0 este adevărat

Decizia va fi de două intervale (-∞; -7) și (3; + ∞). Pentru toate valorile lui x în inegalitatea intervale va fi adevărat.

* Vă rugăm să rețineți că am pus între paranteze. Când x = 3 și x = -7 inegalitatea va fi greșit - granițele nu fac parte din soluție.

Substituind rădăcinile și un coeficient în formula (2), obținem:

Scrie inegalitate ca - (x + 5) (x + 4)> 0.

Rădăcinile ecuației sunt divizate în intervale de axe numerice. Notă pe linia numărul:

* Inegalitatea este strictă, astfel denumirile rădăcini abajur. Am primit trei intervale (-∞; -5), (-5; -4) și (-4; + ∞).

Se determină "semnele" la intervale de timp, ceea ce face prin substituirea în expresia - (x + 5) (x + 4) valori arbitrare ale acestor intervale și se vedea inegalitatea corespunzătoare - (x + 5) (x + 4)> 0.

când x = -10 - (-10 + 5) (-10 +4) = -30 <0 неверно

când x = -4.5 - (-4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 este adevărat

când x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = -20 <0 неверно

Decizia va fi intervalul (-5, -4). Cu toate valorile „x“ ale inegalității aparținând va fi adevărat.

* Vă rugăm să rețineți că frontierele nu sunt incluse în decizie. Când x = x = -5 și -4 inegalitate este falsă.

Atunci când rezolvarea unei ecuații de gradul doi, putem obține o rădăcină sau rădăcini nu va fi deloc, apoi folosind această metodă orbește poate avea dificultăți în găsirea unei soluții.

Un pic! Metoda este bună și este convenabil de a folosi, mai ales dacă sunteți familiarizați cu funcția pătratică și cunosc proprietățile programului său. Dacă nu, atunci vă rugăm să citiți, treceți la secțiunea următoare.

Folosind graficul unei funcții pătratică. Vă recomandăm!

funcție pătratică a formei este:

Graficul său este o parabolă, ramura parabolei îndreptată în sus sau în jos:

Graficul poate fi aranjat astfel: axa x se pot intersecta în două puncte, se poate referi la un singur punct (apex) nu poate trece. Mai multe despre asta mai târziu.

Acum, ia în considerare această abordare ca un exemplu. Întregul proces de soluții constă din trei etape. Noi rezolva x2 + inegalitatea-2x 8> 0.

Point - 4 și 2 puncte de intersecție a parabolei și axa Ox. E simplu! Ce a făcut? Am decis pătratic ecuația x2 + 2x-8 = 0. Uită-te la palmaresul său în această formă:

Zero au valoarea „y“. Dacă y = 0, obținem abscisa punctelor parabolei de intersecție cu axa x. Se poate spune că valoarea zero „y“ este axa x.

Acum, uita-te la ce valori a lui x expresiei x2 + 2x- 8 mai mult (sau mai puțin) la zero? Conform calendarului parabolei este ușor de identificat, așa cum spun ei, toate în minte:

1. Când x <– 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x2+2x–8 будет положительным.

2. La -4 <х <2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x2+2x–8 будет отрицательным.

3. Când x> 2 ramură parabolei se află deasupra axei boului. Sub aceste trinomial x x2 + 2x-8 va fi pozitiv.

Parabolă-ne imediat clar în ce este expresiei x2 + 2x-8 este mai mare decât zero, zero mai mică decât zero. Aceasta este esența celei de a treia etape a deciziei, și anume de a vedea și de a identifica zona pozitivă și negativă în figură. Găsirea rezultat obținut cu pornire și inegalitățile scrie răspunsul. În exemplul nostru, este necesar să se determine toate valorile lui x pentru care x2 expresie + 2x-8 mai mari decât zero. De fapt, am făcut-o în a doua etapă.

Rămâne să scrie răspunsul.

Pentru a rezuma: primul pas în calcularea rădăcinile ecuației, putem indica punctele de date de pe axa Ox (parabole este punctul de intersecție cu axa x). În continuare schematic vom construi o parabolă, și putem vedea deja soluția. De ce schematică? Matematic, nu este nevoie de programul exact. Și imaginați-vă, de exemplu, în cazul în care se obțin rădăcini 10 și 1500, doar să încercați și de a construi un calendar precis pe foaia într-o cușcă cu valori încep să fie difuzate. Acest lucru ridică problema! Ei bine, avem rădăcini, ei bine, au indicat axa ox și schița aspectul în sine o parabolă - ramuri în sus sau în jos? Totul este ușor! Coeficientul lui x 2 vă spune:

- în cazul în care este mai mare decât zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

- Dacă este mai mică decât zero, ramurile parabolei în partea de jos.

În exemplul nostru, este egal cu unitatea, care este pozitiv.

* Notă! Dacă inegalitatea va fi un semn al lax, adică ≤ sau ≥, atunci rădăcinile liniei reale ar trebui să eclozeze, acestea au indicat în mod convențional că însăși valoarea intervalului este inclusă în soluția inegalității. În acest caz, rădăcinile nu sunt umbrite (scos), pentru că avem inegalitatea strictă (există un semn „>“). Cu faptul că, în răspuns, în acest caz, a pus între paranteze pătrate (în loc de frontieră care nu sunt incluse în decizie).

S-au scris, cineva confuz, cred. Dar, dacă vă decideți cel puțin 5 inegalități folosind parabole, care incante limita nu va fi. E simplu!

1. Scrieți inegalitatea duce la standard.

2. Scrieți ecuația de gradul doi și să o rezolve.

3. Desenarea axa Ox, nota a primit rădăcini desena schematic ramuri parabolei în sus, în cazul în care coeficientul lui x 2 este pozitiv sau sucursale în jos în cazul în care este negativ.

4. Determina câmpul vizual al răspunsului pozitiv sau negativ și se înregistrează pe inegalitatea inițială.

Construim axa x. Notând rădăcini obținute. Având în vedere că inegalitatea avem stricte, atunci umbrire lor nu va. construct Schematic ramuri parabolei este localizată în sus ca coeficientul lui x 2 pozitiv:

Se determină regiunile vizual pozitive și negative, aici le-am marcat cu culori diferite pentru o claritate, nu poți face acest lucru.

* Semn de U este decizia obodinenie. Figurat poate spune așa, soluția este „această“ și „chiar“ interval.

Construim axa x. Notând rădăcini obținute. Din moment ce avem o inegalitate stricta, apoi umbra rădăcini denumirile. construct Schematic ramuri parabolei este localizată în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ (este -1):

Determina regiunile vizual pozitive și negative. Au fost comparate cu inegalitatea inițială (semnul noi ≤ 0). Inegalitatea este adevarat pentru x ≤ - 4 și x ≥ 5.

* Parantezele pătrate - aceasta înseamnă că limitele intervalului sunt incluse în decizie. Ay axa în figuri noi nu sunt indicate, pentru că este în această situație nu contează, adică, atunci când creionarea axa construi opțional Oy.

Acum, un alt punct important! Am considerat exemple în care, în soluția ecuației pătratice obținută prin două rădăcini, adică parabolei traversează axa x la două puncte. Decizia de proces este clar. Dar se pune întrebarea: dacă soluția ecuației pătratice va o rădăcină sau nu la rădăcină (discriminant este negativ), atunci cum să înțeleagă și cum să se determine dacă există o soluție?

Unele răspunsuri sunt evidente:

- Dacă se dovedește o rădăcină (discriminante este zero), parabola va atinge axa ox la un moment dat, și anume vârful său.

- Dacă nu există nici o soluție a ecuației pătratice (discriminantul este negativ), atunci parabolei în general nu vor atinge axa ox.

Apoi, se pune întrebarea, ce să facă în aceste situații și cum să se determine răspunsul?

Și acest lucru este în cazul în care vă rog să acorde o atenție la un punct-cheie, care este deja prevăzută în acest articol! În inegalitatea atunci când x 2 putem fi coeficient pozitiv sau negativ. În cazul în care un coeficient pozitiv al ramurii parabolei îndreptat în sus, cu o scădere negativă. Și acum trece la următoarea secțiune a articolului.

Rezolvarea inegalităților pătratice. Toate ocaziile!

Mai jos sunt prezentate pentru toate opțiunile de locație, care parabolă pot apărea atunci când rezolvarea inegalității pătratică:

Primul set de grafice

(Coefficient a> 0, adică ramură parabole îndreptat în sus)

Al doilea set de grafice

(Coeficient de <0, то есть ветви параболы направлены вниз)

În ceea ce privește aspectele prezentate mai sus, cu ocazia când ecuația de gradul doi nu are nici o soluție, să acorde o atenție la cifrele 9,10,11,12, 21,22,23,24 și înțeleg totul. Mai mult:

De exemplu, observați că discriminant este negativ, nu există cai în rezolvarea unei ecuații de gradul doi. Ce înseamnă acest lucru? Iar faptul că ramurile parabolei nu se intersectează axa Ox, adică este situat fie deasupra axei Ox și ramurile sale sunt îndreptate în sus sau sub axa și ramurile sale sunt îndreptate în jos. Și apoi trebuie să ne dăm seama în cazul în care, în cazul dumneavoastră îndreptate ramuri. Ne uităm la coeficientul lui x 2.

- dacă este pozitiv, atunci parabole remiză schematică deasupra axei Ox cu ramuri îndreptate în sus.

- daca este negativ, apoi trage un parabole schematic mai jos axa ox cu ramuri în jos.

Mai mult, rămâne numai pentru a compara imaginea noastră cu această inegalitate și luând în considerare semnul în ea doar scrie răspunsul. Totul.

Exemplu: x 2 + 2x + 16 <0

Discriminantul este negativ, fără cai. Deci parabola intersectează axa x.

Coeficientul lui x 2 pozitiv (egal cu 1), atunci parabolei este următoarea - ramura sa îndreptat în sus și este situată deasupra axei boului (ca în fig.12.).

Trebuie să notați valoarea lui x pentru care x 2 + 2x + 16 este negativ. O astfel de „x“ nu, este evident din grafic (Figura 12).

Raspuns: xε∅ (nici o decizie).

* În cazul în care semnul acestei inegalități a fost „>“, atunci soluția ar fi toate numerele reale (fig. 10).

Acum, punctul final, care nu poate fi ocolit în nici un fel o petrecere, nu am considerat soluția inegalitatea de forma:

Totul este simplu. Dacă ați studiat în detaliu materialul de mai sus în articol și a ratat informația, așa cum se spune, prin ea însăși, aici aceste întrebări vă răspunde cu ușurință.

Trei cazuri sunt posibile, e fuziune la AH decizie 2 + bx + c = 0, obținem:

2. O rădăcină, atunci soluția este xε (-∞; x) U (x + ∞).

3. Fără rădăcini, soluția este număr întreg xε axa (-∞; + ∞).

Ia-articol de material în format PDF

Asta e tot, vă mulțumesc pentru atenție. Încăpătoare întoarse puțin articol.

Cu stimă, Aleksandr Krutitskih