Probleme simple în teoria probabilității

În acest articol considerăm problema examenului pe teoria probabilității (B6). dată până acum în problemele USE matematica deschise bancare (mathege.ru), soluția care se bazează pe o singură formulă, care este definiția clasică a probabilității.

Înțelege formula este cel mai ușor exemple.
Exemplul 1. în coșul 9 roșii și 3 albastru. Bilele variază doar în culori. Aleatoare (nu caută) Atingem una dintre ele. Care este probabilitatea ca drumul ales mingea va fi albastră?

Decizie. Acum vom calcula probabilitatea de a selecta un ORB albastru.
Eveniment A „selectat minge este albastru“
Numărul total al tuturor rezultatelor posibile: 9 + 3 = 12 (numărul de bile pe care am putea obține)
Numărul de rezultate favorabile pentru eveniment A: 3 (numărul de rezultate în care evenimentul A avut loc - adică, numărul de bile albastre)
P (A) = 3/12 = 1/4 = 0,25
Răspuns: 0,25

Noi conta pentru aceeași problemă probabilitatea de a alege o minge roșie.
Numărul total de rezultate posibile va rămâne același, 12. Numărul de rezultate favorabile: 9. Probabilitatea necesară: 9/12 = 3/4 = 0,75

Probabilitatea oricărui eveniment este întotdeauna în intervalul 0 - 1.
Uneori, în vorbirea de zi cu zi (dar nu și în teoria probabilităților!) Probabilitatea evenimentului este estimat ca procent. Tranziția între evaluarea conversațional și matematică se realizează prin multiplicarea (sau divizarea) la 100%.
Astfel,
Probabilitatea este zero pentru evenimente care nu se poate întâmpla - de necrezut. De exemplu, în exemplul nostru, acest lucru ar fi posibil să se retragă din coșul de minge verde. (Numărul de succese este egal cu 0, P (A) = 0/12 = 0, dacă presupunem formula)
Probabilitatea de 1 sunt evenimente care au loc exact, fără opțiuni. De exemplu, probabilitatea ca „mingea va fi selectată, sau roșu sau albastru“ - pentru problema noastră. (Numărul de rezultate favorabile: 12, P (A) = 12/12 = 1)

Am considerat un exemplu clasic care ilustrează determinarea probabilității. Toate aceste sarcini USE pe teoria probabilității sunt rezolvate cu ajutorul formulei.
La locul de bile roșii și albastre sunt mere și pere, băieți și fete, învățați și neînvățați bilete, care conțin și care nu conțin o întrebare despre un anumit subiect (prototipuri 285926. 285927), saci de defecte și de calitate sau pompe de grădină (prototipuri 282857 . 282856) - principiul rămâne același.

Ușor diferită de formulare a problemei examenului teoriei probabilității, ceea ce este necesar să se calculeze probabilitatea unor evenimente într-o anumită zi. (285922. 285923) Ca și în sarcinile anterioare trebuie să definească ceea ce este un rezultat elementar, și apoi se aplică aceeași formulă.

Exemplul 2. Conferința durează timp de trei zile. În prima și a doua zi a actului de 15 vorbitori în a treia zi - 20. Care este probabilitatea ca raportul de profesorul M. cade în a treia zi, în cazul în care ordinea rapoartelor, stabilită prin tragere la sorți?

Faptul că există un rezultat elementar? - Atribuirea raportului profesor de oricare dintre toate posibile numere de serie pentru prezentare. La tragerea la implicat 15 + 15 + 20 = 50. Astfel, raportul de profesorul M. poate obține una dintre cele 50 de camere. Prin urmare, toate evenimentele elementare 50.
Ce fel de rezultate favorabile? - Cei care se dovedește că profesorul va vorbi în a treia zi. Adică, din ultimele 20 de numere.
Prin formula probabilitate P (A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0,4
Raspuns: 0,4

Tragerea la sorți aici este stabilirea corespondenței aleatorii între oameni și organizarea locurilor. În exemplul 2, stabilirea conformității a fost considerată din punct de vedere al unora dintre site-urile ar putea ocupa o anumită persoană. Acesta poate fi aceeași situație abordată de cealaltă parte: unul dintre oamenii cu ceea ce probabilitate ar ajunge la un loc specific (prototipuri 282855. 282858. 285924. 285928):

Exemplul 3 La tragerea la sorți a implicat german 5, 8 franceză, și 3 estonă. Care este probabilitatea ca primul (/ a doua / a șaptea / ultima - nu contează) va vorbi franceza.

Numărul de evenimente elementare - numărul tuturor posibile oameni care ar putea baza pe pentru a ajunge la acest loc. 5 + 8 + 3 = 16 persoane.
rezultate favorabile - franceză. 8 persoane.
Probabilitatea cerută: 8/16 = 1/2 = 0,5
Răspuns: 0,5

Ușor diferite prototip 285925. sarcini rămase despre monede (282854) și zarurile (285 853), un pic mai creative. Soluția de rezolvare a acestor probleme pot fi găsite pe paginile de prototip.

Iată câteva exemple cu privire la aruncarea monede sau zaruri.

Exemplul 4: Când vom arunca o monedă, ceea ce este probabilitatea de cozi?
2 rezultate - capete sau cozi. (Se crede că moneda nu a avut niciodată cade pe o muchie) rezultat favorabil - cozi, 1.
Probabilitate 1/2 = 0,5
Raspuns: 0.5.

Exemplul 5. Și dacă arunci o monedă de două ori? Care este probabilitatea ca ambele ori cad vultur?
Principalul lucru pentru a determina ce evenimente elementare vor fi luate în considerare pentru aruncarea două monede. După aruncarea două monede pot obține unul dintre următoarele rezultate:
1) PP - ambele ori a scăzut cozi
2) PO - primele cozi, a doua oară vultur
3) OP - primele cozi de vultur doua oară
4) OO - ambele ori a scăzut vultur
Nici o altă alegere. 4. Mijloace de evenimente elementare favorabile din care doar prima.
Probabilitatea 1/4 = 0,25
Răspuns: 0,25

Care este probabilitatea ca două monede arunca cozi odată laminate?
Numărul de evenimente elementare este același, 4. rezultatul favorabil - al doilea și al treilea 2.
cozi audio Droprate: 2/4 = 0,5

Este o altă formulă poate fi utilă în astfel de sarcini.
Dacă opțiunile clatina una monede rezultat noi 2, cele două aruncări rezultate vor fi 2 · 2 = 2 2 = 4 (ca în Exemplul 5), pentru cele trei aruncări 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, pentru patru: 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16, ... N pentru turnarea pieselor de rezultate posibile vor fi 2 · 2 ·. 2 = 2 · N.

Astfel, este posibil să se găsească probabilitatea de a obține 5 cozi de 5 aruncări ale unei monede.
Numărul total de evenimente elementare: 2 = 32 mai.
rezultate favorabile: 1 (Rrrrr - toate cele 5 ori cozi)
Probabilitate: 1/32 = 0,03125

Același lucru este valabil și pentru zarurile. Într-un rezultat posibil aici aruncarea 6. Astfel, pentru cele două aruncări 6 · 6 = 36 · 6 pentru trei 6 · 6 = 216, etc ...

Exemplul 6. Arunca zarurile. Care este probabilitatea ca un număr par de căderi?

Total rezultate: 6, în funcție de numărul de fețe.
Favorabile: rezultatul 3. (2, 4, 6)
Probabilitate este: 3/6 = 0,5

Exemplul 7. aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma va scădea 10? (Rotunjit la sutimi)

Unul zaruri 6 rezultate posibile. Aceasta înseamnă că, pentru două dintre regula de mai sus, 6 · 6 = 36.
Ce rezultate vor fi favorabile pentru un total de 10 au abandonat?
10 trebuie să fie descompuse într-o sumă de două numere de la 1 la 6. Acest lucru se poate realiza în două moduri: 10 = 6 și 5 + 4 + 10 = 5. Deci, pentru opțiunile posibile cuburi:
(6 pe primul și al doilea 4)
(4 și 6 în prima secundă)
(5 în primul și al doilea 5)
Total 3 opțiuni. Probabilitatea cerută: 3/36 = 1 / = 12 0,08
Răspuns: 0,08

B6 Alte tipuri de probleme vor fi discutate într-un articol viitor, „Cum să se ocupe cu.“