Varianța și deviație standard
Speranța matematică nu oferă suficiente informații despre variabila aleatoare, deoarece aceeași valoare așteptare poate corespunde unui set de variabile aleatoare va fi diferit nu numai valori posibile, ci și caracterul distribuției și însăși natura valorilor posibile.
De exemplu. legile de distribuție a două variabile aleatoare, și stabilește masa:
Se calculează așteptările și
Decizie. Ne găsim speranța în ceea ce privește formula pentru Classical
Au constatat că pentru două legi diferite distribuții de așteptări are aceeași valoare (0), valori posibile ale variabilelor aleatoare și diferite. Acest exemplu arată că, în cazul egalității speranța matematică a variabilelor aleatoare și au tendința de a oscila și care are o proporție relativ mai mare de împrăștiere relativă relative variabilă relativ aleatoare. Prin urmare, așteptarea este, de asemenea, numit centrul împrăștierii. Caracteristica numerică este introdusă pentru a determina împrăștierea numita dispersie.
Pentru a determina abaterea dispersiei este considerată o variabilă aleatoare de la așteptările sale
Așteptarea abaterii variabile aleatoare este întotdeauna zero. Acest lucru este ușor de văzut din următoarea relație
Taki, abaterea nu poate fi o măsură de magnitudine dispersiei aleatoare.
varianța variabilei aleatoare se numește așteptarea pătratul abaterii unei variabile aleatoare de la așteptările sale matematice
Pentru o dispersie variabilă aleatoare discretă calculată cu formula
Integrarea continuă sunt
În cazul în care intervalul de valori continuă dată pe varianță este solidar cu limite constante de integrare
Dispersia are următoarele proprietăți
1. În cazul în care variabila aleatoare este una totchki - o constantă, atunci variația este zero
2. Dispersia produsului la o valoare constantă egală cu o constantă aleatoare înmulțită cu pătratul variația variabilei aleatoare
3. În cazul în care - constante, relația de dispersie validă
Acest lucru rezultă din cele două proprietăți anterioare.
Dispersia poate fi calculată prin formula simplificată:
care, în cazul unei variabile aleatoare discrete este de forma
dependența continuă determinată
și continuă pe raportul interval
Formulele sunt foarte convenabile pentru calcule, și, spre deosebire de utilizarea anterioară în formare
De asemenea, să fie conștienți de faptul că varianța ia întotdeauna valori non-negative. Se caracterizează dispersia unei variabile aleatoare despre așteptările sale. Dacă variabila aleatoare este măsurată în aceleași unități, atunci variația va fi măsurată în aceleași unități, dar în piață.
Pentru comparație convenabil de a utiliza caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare aceeași dimensiune. Pentru acest lucru este introdus în luarea în considerare a abaterii medii pătrat - rădăcina pătrată a varianței. Ea vine de la „Sigma“ scrisoare grecească
Luați în considerare exemplele să se familiarizeze cu partea practică a determinării acestor valori.
Exemplul 1. Legea discretă variabilă aleatoare tabel definit:
Se calculează variația medie și deviația standard.
Decizie. Obține proprietăți de dispersie în funcție:
Exemplul 2. Există patru becuri, fiecare dintre care are o probabilitate defect (- probabilitatea ca lumina fără cusur). Secvențial ia un bec înșurubate în priză și include un curent electric. Când becul curent poate arde, și este înlocuită cu o alta. Construirea legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete - numărul de bulbi, care vor fi testate. Se calculează abaterea standard
Decizie. variabilă aleatoare discretă - numărul de bulbi, care vor fi testate - astfel de câștiguri valori posibile:
Se calculează probabilitățile corespunzătoare:
Ultima probabilitate poate fi interpretată după cum urmează: a patra lumina va fi testat atunci când un al treilea arde, iar al patrulea - nu, sau dacă a patra și arsuri.
În forma tabelară legea de distribuție a forma următoare:
Pentru a găsi valoarea deviației standard a prima dispersie găsi. Pentru o variabilă aleatoare discretă ea ia valoarea:
Abaterea standard găsi extragerea rădăcinii pătrate a varianței.
Exemplul 3 lege de distribuție variabilă aleatoare discrete definită ca o funcție
Se calculează deviația standard și varianța
Decizie. Cu ajutorul funcției de distribuție de probabilitate formează legea de distribuție sub forma unui tabel
Pe baza dispersiei tabelul de distribuție calculează
Astfel de exemple sunt stabilite, ele sunt de bază în aplicarea corespunzătoare menționate în introducerea formulelor pentru a calcula dispersia și așteptarea. Folosiți-le în cazul în care este necesar, și nu fac greșeli la determinarea varianța.