Derivatul funcțiilor implicite

Intr-un articol anterior am abordat problema de a găsi derivata unei funcții date în mod explicit, adică. Acum vom învăța cum să găsească derivata funcției implicite.

Numita funcție implicită definită de ecuația. Aceasta este, și legat, dar exprimă nu pare posibil. În acest caz, va fi derivate?

1. Ne diferentiem partea stângă și partea dreaptă a, funcția derivabile ca un complex de (un derivat al voinței).
2. Rezolva ecuația rezultată pentru derivatul, adică ne exprimăm.

Trebuie remarcat faptul că, în practică, pe partea dreaptă a ecuației, nu este necesar să fie exact. Pot fi, de asemenea, o expresie a ,. Este clar că această expresie poate fi ușor transferat la stânga și a obține ecuația de forma.

Exemplul 1. Găsiți derivata funcției

Ne desfasuram activitatea strict conform algoritmului - diferenția partea stângă și dreaptă a ecuației:

Prima parte a lucrării efectuate. Acum ne exprimăm aici:

Toate derivat găsit cu succes. Ca răspuns, putem scrie

Exemplul 2. Găsiți derivata funcției

Din nou, diferenția și nu uitați că - o funcție complexă.

Noi rezolva ecuația cu privire la:

Exemplul 3. Găsiți derivata funcției

Acum, cu atenție și pune-l:

Exemplul 4. Găsiți derivatul

Dacă vom diferenția partea stângă și dreaptă a ecuației, vedem că se obțin cele două expresii, care sunt derivate din tabel nu derivați. Vom proceda după cum urmează: logaritmul partea stângă și dreaptă a crede că, și.

Acum, pe proprietatea logaritmului obținem:

Totul, acum cu diferențierea ar trebui să fie nici o problemă - trebuie doar să găsiți derivatele din cele două bucăți de formula:

În plus față de primul derivat, într-o funcție implicită, puteți găsi derivați de ordin superior (de exemplu, 2, 3, 4, etc). Noi prezentăm pe câteva exemple despre cum să facă acest lucru.

Exemplul 5. Găsiți derivata a doua a funcției

Ne diferentiem pe partea stângă și dreaptă a ecuației:

Acum ne exprimăm aici:

Primul derivat este găsit, dar avem nevoie de un al doilea. Prin urmare, distingem încă o dată ecuația originală:

Noi rezolva ecuația cu privire la:

Rămâne doar pentru a scăpa de partea dreaptă a care a fost deja găsit înainte. Adică, în loc de înlocuitorului:

Deci, al doilea derivat este găsit. Deoarece răspunsul poate, desigur, să încerce să lucreze din greu pentru a face frumos, dar nu o vom face - mai bine pentru a rezolva un alt exemplu 😉

Exemplul 6. Găsiți treia derivata funcției

Din nou, avem de-a face cu funcția implicită. diferenția:

Diferențierea din nou:

Scapă de primul derivat, folosind ecuația.

Și, în sfârșit, a treia oară facem diferența ecuația (nu miscalculate 🙂).

Hmm, m-am gândit problema, desigur ... Vă sugerez, dacă aveți dorința de a picta pe cont propriu în cele din urmă de-al treilea derivat. Nu pot adăuga doar că.

Asta e, principiul este clar. Tema este simplu, dacă nu comunică cu derivații de ordin superior, și nu trebuie să fie luate în considerare foarte atent.