Pascal triunghi 2

triunghi uimitor de mare francez

Îmi amintesc bine de un profesor, care a avut
viziune și a crezut că înnebunesc.
El a venit la mine într-o stare de panică.






Ca răspuns, am luat o carte de pe raft, scrisă
în urmă cu aproximativ patru ani, iar el a aratat pacient
xilogravură care ilustrează exact
ceea ce a visat.
Carl Gustav Jung. Omul și simbolurile Lui.

Când am citit Pascal, cred,
M-am citit.
Stendhal

Blez Paskal și un alt mare francez, Per Ferma, a devenit fondatorii teoriei probabilității, anul nașterii ei este adesea menționată ca-1654-lea, atunci când Pascal și Fermat a dat în mod independent, o explicație corectă a secțiunii așa-numitele rate de paradox. Doi jucători vor juca în „inofensiv“ joc (de exemplu, șansele de a câștiga atât la fel), fiind de acord că cel care câștigă primele șase jocuri, va primi întregul premiu. Să presupunem că jocul este oprit înainte ca unul dintre ei a câștigat un premiu (de exemplu, primul jucător care a câștigat cinci jocuri, iar al doilea - trei). Ca să împartă drept premiu? Cu toate că, în general vorbind, problema nu este un paradox, încercări nereușite ale unor oameni de știință să o rezolve, precum și răspunsuri incorecte au creat legenda paradox. Astfel, potrivit deciziei premiului ar trebui să fie împărțită în ceea ce privește 5. 3, și anume proporțional pentru a câștiga jocul, în conformitate cu o alta - în legătură cu 2. 1 (aici argumentele au fost, se pare că, după cum urmează: ca primul jucător care a câștigat două jocuri mai mult, ceea ce reprezintă o treime din necesară pentru a câștiga șase jocuri, el ar trebui sa o treime premiul, iar restul să fie împărțită în jumătate).

În același timp, este necesar să se împartă în proporție de 7: 1. Și Pascal și Fermat considerat ratele secțiune paradoxul ca o problemă de probabilități, constatând că târgul este secțiunea care este proporțională cu șansele de primul jucător care a câștigat un premiu. Să presupunem că primul jucător doar un joc la stânga pentru a câștiga, iar al doilea pentru a câștiga aveți nevoie pentru a câștiga încă trei jocuri, jucătorii continuă să joace și să se joace toate cele trei jocuri, chiar dacă unele dintre ele vor mai fi necesare pentru a determina câștigătorul. Pentru o astfel de prelungire toate 2 3 = 8 rezultate posibile sunt la fel de probabile. Din moment ce al doilea jucător primește un premiu pentru un singur rezultat (dacă el a câștigat toate cele trei jocuri), iar în alte cazuri, primul jucător câștigă, este doar raportul dintre 7. 1. (Pascal și Fermat a găsit, de asemenea, o soluție generală pentru cazul în care un jucător pentru premii pentru a câștiga n mai multe părți, iar celelalte - m loturi).

Triunghiul va fi beat
Pentru a ridica moralul-l da!
Deși el paralelipipedică,
Fie că cub yadrena păduche
Vladimir Vysotsky

De fapt, triunghiul lui Pascal a fost cunoscut cu mult înainte de 1653 - data retragerii, „un tratat despre triunghiul aritmetic“. Deci, acest triunghi este reprodusă pe pagina de titlu a manualelor aritmetice, scrise în începutul anului XVI Peter Apianom, un astronom de la Universitatea din Ingoltshtadskogo. Afișează un triunghi și ilustrația în cartea matematicianului chinez, publicat în 1303. Omar Khayyam, care a fost nu numai un filosof și poet, dar, de asemenea, un matematician, știa de existența unui triunghi în jurul valorii de 1100, la rândul său, împrumutat de la surse chineze sau indiene anterioare.

Este chiar mai ușor de explicat cuvinte unitate triunghiul lui Pascal: fiecare număr este suma celor două numere de mai sus ea. Toate elementar, dar multe din aceste minuni ascunse.

În partea de sus a triunghiului este în valoare de 1. Un triunghi poate fi continuată pe termen nelimitat. Este simetric în jurul unei axe verticale care trece prin vârful său. De-a lungul diagonalele (ca un triunghi poate fi diagonală, dar să nu subterfugiu, această terminologie se regăsește în publicații), laturile paralele ale triunghiului (în figură marcate cu linii verzi) sunt aranjate numere triunghiulare și generalizări lor în cazul spațiilor de toate dimensiunile.

Numerele triunghiulara obișnuite și familiare, arăta cât de multe cluburi afiliate pot fi aranjate într-un triunghi - ca un exemplu clasic al alinierii inițiale a bile în biliard. Prin aceeași monedă, vă puteți sprijini de două mai mult - un total de trei - două posibile priladit trei mai mult - un total de șase. Continuând să crească rânduri formă de triunghi de reținere obține o serie de 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 și 66 arată că a doua linie verde. Acest număr remarcabil, dintre care fiecare membru este suma numerelor naturale (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) cuprinde de asemenea o multitudine de cunoștințe, fanii bine cunoscute de matematică: 6 și 28 - numerele angajate 36 - numere pătrate 8 și 21 - numere Fibonacci.

Și următoarea linie verde (1, 5, 15, 35) încercarea de a demonstra gipertetraedra pune unele în spațiu cu patru dimensiuni - o minge atinge patru, și cele la rândul său, zece. În lumea noastră, acest lucru nu este posibil, doar patru, virtuale. Și mai tetraedrul cinci dimensiuni, după cum reiese din următoarea linie verde, ea poate exista doar în considerațiile de topologie.

Și ce am spus linia verde cel mai de sus pe care numerele naturale? Acesta este, de asemenea, un număr triunghiular, dar unidimensională, care arată cât de multe bile pot fi stabilite de-a lungul liniei - cât de mult să mănânce, atât de mulți laici. Dacă vom merge până la capăt, numărul superior de unități - este, de asemenea, un număr triunghiular în spațiul tridimensional zero, - indiferent de cât de multe mingi noi nu avem - de a plasa mai mult nu se poate, pentru pur și simplu nicăieri - nici o lungime sau lățime sau înălțime.

Chiar și o privire sumară la triunghiul lui Pascal, este suficient să se constate următoarele fapte interesante: 10 nuclee pot fi pliate sub forma unui tetraedru și un triunghi plan. A 56 Hypernuclei formând un tetraedru în spațiu cu cinci-dimensional, poate fi plasat într-un tetraedru regulat de obicei tridimensională, cu toate acestea, dacă am încercat să pună 56 de nuclee de triunghi, atunci un miez ar rămâne de prisos.

Scotoci câteva minute, vei fi recompensat cu un triunghi apare pe ecran și, prin urmare, sunt gata pentru experiment neobișnuit viitoare. (Prea multe rânduri pentru a cere, nu este necesar, ca și cu 13-14 rânduri în mijloc începe să apară numărul patru sau cinci cifre, acestea se contopesc cu latura în picioare alături, iar imaginea este pătată. Poti, desigur, crește raza celulei și pentru a reduce fontul, dar încă, numerele din mijlocul triunghiului sunt în creștere rapidă și vor fi îmbinate, chiar dacă o pereche de rânduri de mai jos).

Dar, mai întâi, un cuplu de proprietăți mai interesante din triunghiul lui Pascal. Pentru a găsi suma numerelor de pe fiecare diagonală de la început până la locurile de interes pentru noi, doar uita-te la numărul situat pe partea de jos și la stânga ultimul termen. (Stânga la dreapta diagonală, este dreapta și stânga, în general, pentru diagonala - este mai aproape de mijlocul triunghiului). De exemplu, să presupunem că vrem să calculeze suma numerelor naturale de la 1 la 9. „coborât“ pe diagonală la numărul 9, vom vedea în partea din stânga jos din el numărul 45. Apoi dă suma necesară. Care este suma primelor opt numere triunghiulare? Am prelua numărul 8 în a doua diagonală și se deplasează în jos și spre stânga. Răspuns: 120. Dar, de altfel, 120 - numărul tetraedru. Prin urmare, luând toate bilele, dintre care 8 sunt compuse din primul triunghi, am putea adăuga până tetraedru. Încercați cu cireșe sau mere de aceeași dimensiune, pur și simplu nu încercați să meargă cu ei în a patra dimensiune, ele pot să dispară.

Suma numerelor, nu ca în picioare de-a lungul diagonalelor abrupt care se încadrează (în figură marcată de linii roșii) constituie un cititori constant secvență Fibonacci bine-cunoscute. A se vedea, de exemplu, articolul de mai sus „Iepuri canibalii, catrene.“ Sau mai multe materiale pe un pepene verde.

Dar, în publicațiile anterioare nu am vorbit despre faptul că numerele lui Fibonacci sunt adesea găsite în probleme combinatoriale. Luați în considerare n numărul de scaune. Cât de multe moduri pot sta pe ele, bărbați și femei, astfel încât nu există două femei stăteau unul lângă altul? Când n = 1, 2, 3, 4, respectiv, numărul de moduri este 2, 3, 5, 8, adică să coincidă cu numerele lui Fibonacci. Pascal, se pare că nu știa că numerele Fibonacci ascunse în triunghiul lui. Acest fapt a fost descoperit abia în secolul al XIX-lea. Numărul de picioare pe rânduri orizontale de triunghiul lui Pascal - este coeficienții binomiali, adică coeficienții de expansiune (x + y) n puteri ale lui x și y. De exemplu, (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y 3. Coeficienții de expansiune sunt 1, 2, 2 sunt în al doilea rând, și unul , 3, 3, 1 - în al treilea rând al triunghiului. Pentru a găsi coeficienții de dilatare ai (x + y) n. doar uita-te la rândul n al triunghiului. Este o proprietate fundamentală a triunghiului lui Pascal se conecteaza cu combinatorică și teoria probabilității, ceea ce face un mijloc convenabil de efectuare a calculelor.

În cazul general, numărul indică cât de multe moduri pot fi alese dintr-o multitudine de elemente n care conțin diferitele elemente ale r, se află la intersecția rândului diagonală și r th-n clorhidric. Și din nou, pentru cei care au cel puțin ceva să-l. Numărul de combinații posibile de n cu m elemente dat de formula

În cazul în care n! = 1 * 2 * 3 * 4 *. * N factorial așa-numita n. Și aceleași trei femei din șapte, puteți alege mai multe opțiuni: C !!! 03 iulie = 7/3/4 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7/1 * 2 * 3/1 * 2 * 3 * 4 = 5040/6/24 = 35, pe care le-am luat. A Valorile Coeficienți binom determinate prin formula în care acestea sunt aceleași, așa cum am găsit, rânduri de triunghiul lui Pascal, care leagă în mod inexplicabil acest triunghi și combinatorica expansiune binom în puteri.

De altfel, combinațiile cu formula rezultă că numărul de opțiuni la trei la șapte egal cu numărul de opțiuni de la patru la șapte, sau numărul de cartele de umplere Sportloto varianta 5 36 egal cu numărul de 36 de selecție 31, despre acest subiect plăcut.

Aici este un program care pune în aplicare triunghiul colorat, în conformitate cu paritatea fiecărui triunghi. În loc de valoare în locul său este desenată cerc scufundat negru pentru valori impare de alb și chiar.

În a doua etapă, aceeași operație se realizează cu cele trei triunghiuri rămase, și apoi la cele nouă rămase și așa mai departe. Poți găsi limita solicitată de zona rămasă? Și cum să explice coincidența dintre cele două modele?

Mutarea în continuare - încercați să nu pentru a verifica paritate, iar restul împărțirii de către alte numere, și de fiecare dată surprins de deschidere o vedere a unui triunghi. După ce a jucat de ceva timp, observăm că, atunci când se specifică numărul de divizare prin care vom verifica, simplu, face modele frumoase cu regularitate pronunțată (încercați să întrebați 3, 5, 7, 11, 13, 17), și atunci când împărțit la un număr de ornament compozit crumbles, menținându-se totuși, simetria și regularitatea în modelele alternativ. În plus, mai mult numărul de separatoare a verificat (de exemplu, HA2 12 este împărțit la 3, 4 și 6), se obține mai mult modelul „neclară“.

Luați în considerare triunghiul construit „pe“ numărul 7, adică, numărul nu este divizibil cu 7 fără reziduuri, vopsit negru, împărțind - alb, și să încerce să vadă tipare.

Și aici este rezultatul programului. Nu e frumos? Vizibil triunghi roșu „zona Sierpinski“, care, suprapus pe geamurile verzi ale nouari oferă zone galbene și albastre porțiuni ale diviziunii de 11 oferă patch-uri violet. Face această valoare practică de frumusete, cu excepția pentru modelul monitorului nu este clar, dar din triunghiul lui Pascal, în special culoarea, vă puteți aștepta la nici un miracol, probabil, în viitorul apropiat. Și aici este o altă versiune a colorantilor făcute de algoritmul

r = a (x, y) / Mod 3 255 g = o (x, y) / 2 Mod 255 b = a (x, y) / 4 Mod 255

Și ultima întrebare, legate împreună cu triunghi și șah lui Pascal. Care este suma tuturor numerelor care stau deasupra oricărei serii? Consideră-te, începând de la partea de sus a acestor sume, și veți vedea valorile 1, 3, 7, 15, 31. Nu este necesar să aibă o mare imaginație pentru a vedea o regulă simplă: suma tuturor numerelor pentru n rânduri egale cu 2 n -1. Și în cazul în care șah aici? Conform legendei bine-cunoscut de Raja a promis creatorul de șah orice premiu, pe care îl solicită. Când primul jucător cerut să pună pe pătrat prima parte a plăcii este un bob de grâu, al doilea - doi, pe al treilea - patru, și așa a continuat să se dubleze până în piața 64th, Raja a fost jignit la prima lipsă ne cere o recompensă. Atunci când managerii de aprovizionare, magazinerii a dat cerem numărul, sa dovedit că acest grăunte ar putea umple întregul Pământ pe genunchi, este mult mai mult decât a fost, și vor fi colectate în toate culturile omenirii. (De altfel, este posibil să se estimeze înălțimea stratului de cereale, un volum predeterminat de cereale, de exemplu, 1 mm înmulțită cu 3. 2 64. în mod necesar scade 1 și împartă pătrat suprafața solului.) Deci, - în fiecare celulă decupată (a) stabilește numărul de boabe egal suma numerelor din șirul corespunzător de triunghiul lui Pascal, iar suma tuturor boabelor în primele celule n este egal (a) suma numerelor de pe aceste n linii ale triunghiului magice. Această imaginație abundente și va finaliza examinarea.